大雑把に考えたい。

サイト移動のお知らせ

2023-04-24T22:04:33+09:00

以下サイトに移動しました。

https://tendrogram.blogspot.com/

ラグランジュの未定乗数法のビジュアル化

2022-08-17T18:08:09+09:00

導入

「ラグランジュの未定乗数法」を大学で最初に習ったとき、正直全くわかりませんでした。しかし時は経ち、結局あれは何だったのかとビジュアル化して考えたところ、「なんだ、結局ただのベクトルの平行条件じゃん」と、名前がかっこいい割には実は単純なことしかしていないと気づきました。
昨今はYoutubeでビジュアルで解説しているものがあるので、そちらを見るとよいかもしれません。海外Youtube(英語)のほうが力が入っている気がします。
以下は私の備忘録として残します。

1.極値を出したい式のビジュアル化

そもそも、式をビジュアル化できていませんでした。そしてこれこそが盲点でした。
今回は例として、極値を出したい式は放物線、制約条件は半径1の円にします。

といっても、放物線「y=x^2」という形では使えません。無理やり形を変形する必要があります。放物線を変形した式「f = y - x^2」です。
そしてこの式のビジュアル化が盲点でした。これは3次元で考えないと成り立ちません。

ビジュアル化の具体的な方法は、f=0の場合にグラフを1つ描き、次はf=1の時のグラフを描き、ということを繰り返します。すると以下の図になります。地図の等高線と同じ見方です。fが標高に対応します。

2.制約条件のビジュアル化

では、制約条件の半径1の円「y^2 + x^2 = 1」をビジュアル化します。これは2次元です。
放物線と同じ3次元空間に置きたいので、3次元空間に浮いた円をイメージします。ただしf軸を上下に自由に動けるイメージです。
以下図のようになります。等高線的に書くと、結局円が1つです。

3.ラグランジュの未定乗数法が求めている極値

結局極値はどこを求めているかというと、これは「接する点」を求めています。つまり以下図の場所です。
矢印で指している部分が極値です。しかし「接する点」と呼んだ方が理解しやすいと思います。

4.接する点を求めるためのアイデアとは

これが一番重要です。接する点を求めるアイデアは、「極値を求める式の法線ベクトルと、制限式の法線ベクトルが平行になる」というものです。
実はベクトルの考えだったのです。ここに気づくと理解が深まります。

5.ラグランジュの未定乗数法の左側式と右側式の意味、そしてλとはなにか

これは右側も左側も結局、「法線ベクトルを出す式」です。偏微分は「法線ベクトルを出す式」だったという、今まで気づかなかった知見がここで得られました。
λは、法線ベクトルの倍率を合わせるための係数でした。
結局、「ベクトルの平行条件」を行っているのが「ラグランジュの未定乗数法」だとわかりました。

物理のイメージ欲しい～ラグランジュ方程式の何がいいのさ？～

2019-01-28T22:11:11+09:00

昔物理を習っていたが、当時ラグランジュ方程式やハミルトニアン方程式のありがたみがさっぱりわからなかった。

そして今でもわからない。
だって私は以下のような事を考えているからだ。

１．みんな「ラグランジュ方程式は全ての根源なんだ！」とか言うのだが、しかし私は、
「でもラグランジュ方程式って、必要なエネルギーの項はニュートン力学で計算してあげないと結局ダメだよね？　それって結局ニュートン力学じゃん！」とか思っている。

２．みんな「計算が楽になるんだ！」とかいうのだが、しかし私は、
「でもエネルギー項の計算ってめっちゃ大変じゃない？結局大変なところが移っただけだからトータルでみると別に楽になってないんじゃない？」とか思っている。

３．みんな「ラグランジュ方程式からニュートン力学でるんだぜ！」とか言うのだが、しかし私は、「は？ニュートン力学は既にあるじゃん。今あるものがラグランジュ方程式から出たから何なの？別に新しいこと何もないよね」とか思っている。

４．そして極めつけは、
「ラグランジュ方程式を使って何か役に立ったためしが・・・ないじゃん！」
これに尽きる。実例を出してくれよ実例を。そもそもそんな未知のエネルギー項なんてどうやって出すんだい！

だから、なぜ持てはやされているのかさっぱりわからない。
でもこの機に考えてみたい。もちろん大雑把だから数式とか考えない。
さてググろう。

・・・

ググった。
そして私は有難がられる理由をこう思った。

「量子力学の水素の方程式を解くためにはハミルトニアンの正準方程式が必要、
それを出すためにはラグランジュ方程式が必要
・・・だからラグランジュ方程式が重要なんだよ！！！」

という、後付けの理由ではないだろうか。

数学の道具というものは古くからたくさん開発されてきている。
その道具の中で、現代の量子力学に役に立つものはすべて、有難がられるのだ！

なんなら、ラグランジュ方程式は色々使えるから良いのでは全く無く、
ただ1点、ハミルトニアンの正準方程式の踏み台としてのみ価値があるのではないか？

と思うと納得できる。

・・・

別にこんな穿った見方をしたいわけではないが、実例がないと怪しいよね。
今思えば、物理の授業もそうだな。役に立つ実例を学べないのだ。
昨今の機械学習やデータ分析は直ちに役に立つ。しかし物理はそうではないのだ。
・・・と脱線した。

そうだな何か役に立ちそうな実例を考えればいいのかな。
地球温暖化で、熱の移動を解く、というのはどうだろう。

地球の熱エネルギーは、太陽の放射熱＋地熱＋大気や海の蓄熱か。無風で熱伝導だけで移動するとしてラグランジアンだとどういう式が建てられる？そもそも熱にも適用できるのかな？
・・・まあ私に組み立てる力はない。

とりあえずこれぐらいの役に立ち方があればね。

データ分析で何か見たい~上場会社の分析~

2019-01-20T11:59:59+09:00

最近pythonを勉強中。
そこで題材として上場会社のデータから何か見つけたい。

上場企業のデータから以下のように相関係数を出してみた。
どの値がどの値と線形関係にあるのかがわかる。
　・1なら線形関係(傾きプラス)、
　・-1なら線形関係(傾きマイナス)、
　・0ならその2つの値は関係ない。
Top5は赤枠で示した。

データの見方としては、例えばTop1の時価総額 vs 従業員数(連結)が1に近い。つまり
日本の上場企業の傾向として、時価総額が大きければ従業員数（連結）も線形で大きくなっているよ、ということがわかる。

ではそれぞれ以下で考察する。

〇Top1：(0.675676) 時価総額 vs 従業員数(連結)
　これはわかる気がする。会社規模が大きければ従業員も多いよね。
　ただ従業員（単独）よりも（連結）のほうが相関あるというのはなんだ？
　もしかして親会社は少数精鋭で、連結のほかの子会社で作業者の人手を賄っている？

〇Top2：(0.646553) 一株配当 vs EPS
　利益が出たらちゃんと配当として出していますよ！という相関。これもわかる。
　この相関が高いので、日本企業は儲けはちゃんと株主に還元していると言える。
　※EPSとは？　(Wikipediaより)
　1株当たりの企業の利益（当期純利益）はいくらかを表す指標で、
　当期純利益を発行済株式数で割って表されます。

〇Top3：(0.600903) EPS(１株純利益) vs BPS(１株純資産)
　これは、利益出ている会社は、純資産も多いんだよと言っているんだな。
　よく考えればこれは新しい発見だ。利益を出すには、資産をしっかり活かすことが
　重要って言っているのかも。
　※BPSとは？
　一株当たりの純資産。　

〇Top4：(0.580752) 一株配当 vs BPS
　これは上のTop2とTop3の関係があらためて出てきた感じ。
　特に問題はなさそう。

〇Top5：(0.532734) 平均年齢 vs 平均年収
　平均年齢が高ければ、平均年収も高くなるよ、と言っている。
　転職するなら、どういうところがいいかな。
　平均年齢低いが平均年収は高いところは、高給だが忙しい可能性あり。２０代ならありか？

　
以上が考察だが、グラフでも見てみたい。きっと違った考えが出てくるはず。

◎Top1：(0.675676) 時価総額 vs 従業員数(連結)

線形だと思ったがそこまできれいな直線にはのらない。右下は人が少ないのに時価総額が
大きいから市場の期待が大きい（伸びる）と思われている会社だろう。ちなみにこれはNTTドコモだ。ところで右上に1つだけある会社は日本一の会社トヨタだ。さすが。桁違いだ！

◎Top2：(0.646553) 一株配当 vs EPS

線形っぽい。右に行けば行くほど配当を頑張っている会社だ。一番右の会社はどこ？
東京エレクトロン(株)だ。頑張っている。では一番左上の儲けているのに配当少ない会社は？…という犯人捜しは辞めておこう。いや、ある意味今後配当を出す可能性が高いともいえる？。すると化ける可能性あり。
あと、利益出てないと配当もしないってことがよくわかる。あ、一番下に例外の会社あり。
食品系の会社だった。大丈夫なのか！？

◎Top3：(0.600903) EPS(１株純利益) vs BPS(１株純資産)

右上に１つだけ高い会社がある。エスケー化研だ。初めて聞いた。建築塗料の会社とのこと。なぜこんなに高いか他のデータ見てみた。どうやら、最低購買価格が５００万円からと非常に高額。中々買えず株価上がらないから１株当たりに換算すると大きくなるのでは？
逆に株式分割で1/2にしてほかの会社程度に落ち着いたとしたら、時価総額は2倍程度になるのでは？要注意。

◎Top4：(0.580752) 一株配当 vs BPS（1株純資産）

まぁこれはTop2とTop3の関係から、出てくるっていうやつだった。一番右が東京エレクトロンね。あまり純資産ないんだな。意外。それとも株価高くて目減りしているのか？

〇Top5：(0.532734) 平均年齢 vs 平均年収

みんな気になる年収はどうだ！？　一番高いのはキーエンスだろうなと思っていたら、
やっぱりキーエンスだった。そして平均年齢も低い。あの噂は本当だったのか・・・。

以上で企業のデータ分析を終える。
グラフにして平均から逸脱した企業を探し、考察してはじめて意味のあるデータが取れるって感じだな。グラフ化の重要性高し。

固有値を考える～行列の3重対角化とはなんだ？～

2019-01-14T17:51:51+09:00

3重対角化をすると固有値の計算が早くなるらしい。
固有値を解くための大まかな流れを描いてみた。

　１．固有値を解きたい行列を用意
| a11, a12, a13, a14, a15|
| a21, a22, a23, a24, a25|
| a31, a32, a33, a34, a35|
| a41, a42, a43, a44, a45|
| a51, a52, a53, a54, a55|
　
　２．行列を3重対角化（HouseHolder変換を使う）
| b11, b12, 0, 0, 0|
| b21, b22, b23, 0, 0|
| 0, b32, b33, b34, 0|
| 0, 0, b43, b44, b45|
| 0, 0, 0, b54, b55|

　３．この変換後の行列を解く（QR法とか、ランチョス法とか）

ここでいつもムズムズしていた。
「そもそも3重対角化って現実世界でいうところの何をしてんの？可視化したい」
これらを大雑把に理解してみる。

・・・色々思い悩んだが、結局以下のアイデアにたどり着いた。
3重対角化行列は、有限要素法（FEM）でいうところの1次元のバネ連結モデルの行列に激似だ。

　　　1次元のバネ連結モデルのイメージ（X方向のみ動く）
　

　　　1次元のバネ連結モデルにバネの方程式を適用し、行列で描いたもの
| -k1, k1, 0, 0, 0| | dx1 | | f1 |
| k1, -(k2+k1), k2, 0, 0| | dx2 | | f2 |
| 0, k2, -(k3+k2), k3, 0| × | dx3 | = | f3 |
| 0, 0, k3, -(k4+k3), k4| | dx4 | | f4 |
| 0, 0, 0, k4, -k4| | dx5 | | f5 |

どうだろう、左側の行列は3重対角化そのまんまではないか！！！
ということで、「3重対角化にする」ということは、「1次元のばね連結モデルに置き換える」と言っていいのでは？

ということは、例え乱雑に繋がったバネモデルでも、固有値は1次元のバネ連結モデルに置き換えられる、と言えるだろう。

　　　こんな感じの並列部分があるバネモデルでも置き換えられる。

「3重対角化」は、複雑なモデルを非常に単純なモデルに置き換えるのが目的なんだな。
少しムズムズが収まった。

今日はここまでで限界だ。ここまで書き進めると別の興味が沸いてくる。
「3重対角化を進める過程と、バネが統合される過程の対応を見たい」
それはきっと私には厳しい。ここまでにする。

観測者の有無が現象に影響を与える、はずがない。

2017-07-02T22:55:32+09:00

量子力学では、観測が現象に影響を与えるという。

これはわりと当たり前のことだ。
なぜなら観測とは、何かを物質に衝突させて、その反射を取得することだからだ。

コウモリなら超音波だ。
人の目なら反射光を取得して、ものの位置を観測している。

では観測が現象に影響を与えるとはどういうことか。
それはただ単に、衝突させたら位置が動いてしまうぐらいものが小さいということだ。

コウモリの超音波は人の鼓膜では聞けないが、音の測定器では取れる。
測定器は薄いシートが超音波で震えるから音が取れるのだ。
つまり超音波で動くぐらい小さい（薄い）のだ。

光なら、まあほとんどのものは動かない。しかし電子レベルの小ささなら弾き飛ばされたりする。光電効果とかね。小さいからこその問題だ。

まるで目隠しでビリヤードの球を当てて、ほかの玉の位置を知る、そんな感じだ。
玉当たると、動いちゃうよね。

ただそれだけ。

それなのに・・・
世の説明では、観測「者」の有無が現象に影響を与えると答える人もいる。
これがわけがわからない。
観測行為はモノを衝突させるから説明付く。
でも人の存在は、何も現象に影響ないよね。

なんか哲学の観念論を言っているような気がする。
それはよそで言っててほしい。混乱する。

話は変わるが、Youtubeに2重スリットのアニメがあった
https://www.youtube.com/watch?v=vnJre6NzlOQ

4:25に、観測することで結果が変わる話が出てくる。
でもアニメのようにカメラで横から撮影したって、光子は映らないはず。
だって光がカメラのセンサーに当たっていないんだから。
つまりそれって観測できていないよ。

光子の軌道上にカメラを置く。これなら確実に観測できる。
そして見事に光子の状態を変えられる。実験は台無しだが。

３重対角化を可視化できるか。

2017-03-15T00:39:22+09:00

今日は行列の3重対角化について考えてみたい。

ここで書いている時点では何が生まれるかまだ分かっていないが、ブログに書こうと筆を進めると自然と何かできるから、それを期待して書いている。

さて、3重対角化とは何か。

固有値計算で出てくるぐらいしかしらない。なんで出てくるんだっけ。

・・・

「数値解析　森正武」をぱらっと見てみた。

どうも3重対角の行列から、バイセクション法を使って固有値が求まるようだ。

そして驚いたことに、ランチョス法は固有値を求める手法ではなく、この3重対角化する手法のことらしい。勘違いしていた！

ほかに3重対角化の効果でてくるかな？

・・・

ハウスホルダー法も、3重対角化の手法の１つらしい。こっちは固有値計算も込みのようだ。

そんなところか。

さて、3重対角化は可視化するとどういう世界なのか。

私は対称行列はすべて楕円に関係していると、以前このブログで結論した。

対称行列に相似変換を繰り返して3重対角化していくが、これはつまるところ楕円体の向きを、

X、Y、Z軸に合わせている動作に他ならない。

ただ対角行列であればピッタリX、Y、Z軸に楕円体の長辺、短辺が乗るのでわかりやすいが、
3重対角化ってどういうことだよ。
ピッタリではないが、もう少しでピッタリ状態ってことでいいかな？

・・・

考えるヒントとして、前のブログで、固有値方程式はラグランジュの未定乗数法に帰着する話が合ったが、その時の話で行列×ベクトルは楕円表面の法線ベクトルだった。

3重対角化では、どうなるか。
「固有値をまた考える～べき乗法の可視化～」から式を持ってこよう。

傾き = A * V

|∂f/∂x| |a, b, c| | vx|

|∂f/∂y| = |d, e, f| *| vy|

|∂f/∂z| |c, f, g| | vz|

ここでA行列のc成分が０ってことが3重対角化だ。
で、cが0ということはどういうこと？

vzがどんな値であろうと、楕円表面の法線ベクトルには関係ないよ、ということか。
そんな状態って・・・なに？

難しすぎる。また明日。

確率も量子化してしまえばいいのに。

2017-03-13T22:09:05+09:00

量子力学で考えると、壁にずっとぶつかり続ければいつか通り抜けることができるという。

少なくとも確率は０ではないと。

でもそんなことって本当に起きるのだろうか。

私は言いたい。

そんなレベルの非常に小さな確率は、事実上起きない。

どんなに時間が経とうとも。そこに無限があったとしても。
と、思っている。

そういう存在する／しないの限界の確率ってあるんじゃなかろうか。

そう、つまり確率も飛び飛びの値を持つ。

0の次は1e-100で、その間はないとか。この値は適当ですが。

・・・

よくよく考えれば、統計力学の考えは、非常に小さい確率の状態は事実上起きない、と言っているようにも取れる。このあたりから突き崩せないかな。

正直、量子力学のあのとんでもな話はマクロで語るものではない。
面白くはあるけど。

死にゆくデータ

2017-03-06T23:18:46+09:00

インターネットの成長とともに様々なデータが流通するようになった。

データは増加し続け、そして拡散され続ける。

しかしそんな中でも有用なデータは残り、不要なデータは忘れ去られていく。

それはまるでダーウィンの進化論のごとく。

データはまるで生物だ。

そう考えるとデータの死も考えてみたくなる。

いかに有用なデータであっても、あえて死をプログラムしておくのだ。

死を意識させて、初めてそのデータの重要性を意識させる。

そして次の新しいデータの糧とする。

死こそがデータに命を吹き込むのだ！

・・・

とかいう一般的な話だと面白くないな。
具体的に考えてみたい。

例えばニュートン力学がデータとしてあったとして、死がプログラムされているので100年後にそのデータは消える。
そうするとニュートン力学がネットから消える・・・それじゃだめか。

そうか、データが自然死する前に、有用であれば誰かが自分のHDにコピーするのだ・・・いや、それじゃいかんか。コピーしても死んでくれないと、データはひたすら生き残ってしまう。

では、これならどうだ。有用だからこそ誰かがそれを写経のごとく書き写す！
これなら意味は同じでもデータは異なるから問題なし。

まるで剣術の秘剣を弟子に伝えるかんじだ。
使い手は変わるが技は生きる。よいぞ。

よって、以下が死にゆくデータに必要な条件だ。
・データは何年後かに必ず自然死されるようプログラムされる。
・そのデータはコピーされてもやはり同じ時間に自然死する。
・データを残すには、写経のごとく書き写すのみ。

それにより生まれる効果は以下だ。
・死ぬことで、データに対して必要・不要を真剣に考える。
・不要なデータは自然になくなっていき、不要な時間やコストを使うこともなくなる。
・写経のごとく書き写す際に、再チェックや新たな解釈・知見を追加し続けられる。

人の社会に似ているな。

1 + 2 + 3 + ・・・ ∞ = ー1／12　ってマジ？？？

2017-02-06T00:19:33+09:00

ある本に書いてあったので、ありえないだろ！と思ってネットで調べてみた。

するとなんかそれらしくこれは正しいという説明があふれていた。

・・・一体何が起きているんだ？

みんなバカなのか？

マイナスになるはずがないんだ。
だって正の数だけを足しているんだから。

小数になるわけもないんだ。
整数を足し続けているんだから。

そしてこれはそもそも、数列で習ったあの式なんだ。
1 + 2 + 3 + ・・・ + n = n(n+1)／2
n=∞の時、∞(∞+1)／2だから答えは∞なんだ。

それをー1／12とか言っている。
そんなわけないでしょ？

考えすぎて、変な方向入って、大間違いしちゃって、でも大数学者のオイラーが作った式だからとみんな盲信して、しかも便利だから色々な式に応用しまくって、やっぱおかしいかなと思っても引っ込みがつかなくなって、仕方なく使っている可能性が高い。

きっと説明する先生も、この部分はあっさり飛ばすんじゃないかな。もしくは難しく説明して煙に巻くしかない。

現代であっても大嘘がまかり通るんだな。厳密で永遠に不変が売りの数学の世界であっても。