導入
「ラグランジュの未定乗数法」を大学で最初に習ったとき、正直全くわかりませんでした。しかし時は経ち、結局あれは何だったのかとビジュアル化して考えたところ、「なんだ、結局ただのベクトルの平行条件じゃん」と、名前がかっこいい割には実は単純なことしかしていないと気づきました。
昨今はYoutubeでビジュアルで解説しているものがあるので、そちらを見るとよいかもしれません。海外Youtube(英語)のほうが力が入っている気がします。
以下は私の備忘録として残します。
1.極値を出したい式のビジュアル化
そもそも、式をビジュアル化できていませんでした。そしてこれこそが盲点でした。
今回は例として、極値を出したい式は放物線、制約条件は半径1の円にします。
といっても、放物線 「y=x^2」 という形では使えません。無理やり形を変形する必要があります。放物線を変形した式「f = y - x^2」です。
そしてこの式のビジュアル化が盲点でした。これは3次元で考えないと成り立ちません。
ビジュアル化の具体的な方法は、f=0の場合にグラフを1つ描き、次はf=1の時のグラフを描き、ということを繰り返します。すると以下の図になります。地図の等高線と同じ見方です。fが標高に対応します。
2.制約条件のビジュアル化
では、制約条件の半径1の円「y^2 + x^2 = 1」をビジュアル化します。これは2次元です。
放物線と同じ3次元空間に置きたいので、3次元空間に浮いた円をイメージします。ただしf軸を上下に自由に動けるイメージです。
以下図のようになります。等高線的に書くと、結局円が1つです。
3.ラグランジュの未定乗数法が求めている極値
結局極値はどこを求めているかというと、これは「接する点」を求めています。つまり以下図の場所です。
矢印で指している部分が極値です。しかし「接する点」と呼んだ方が理解しやすいと思います。
4.接する点を求めるためのアイデアとは
これが一番重要です。接する点を求めるアイデアは、「極値を求める式の法線ベクトルと、制限式の法線ベクトルが平行になる」というものです。
実はベクトルの考えだったのです。ここに気づくと理解が深まります。
5.ラグランジュの未定乗数法の左側式と右側式の意味、そしてλとはなにか
これは右側も左側も結局、「法線ベクトルを出す式」です。偏微分は「法線ベクトルを出す式」だったという、今まで気づかなかった知見がここで得られました。
λは、法線ベクトルの倍率を合わせるための係数でした。
結局、「ベクトルの平行条件」を行っているのが「ラグランジュの未定乗数法」だとわかりました。
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