今日は行列の3重対角化について考えてみたい。
ここで書いている時点では何が生まれるかまだ分かっていないが、ブログに書こうと筆を進めると自然と何かできるから、それを期待して書いている。
さて、3重対角化とは何か。
固有値計算で出てくるぐらいしかしらない。なんで出てくるんだっけ。
・・・
「数値解析 森正武」をぱらっと見てみた。
どうも3重対角の行列から、バイセクション法を使って固有値が求まるようだ。
そして驚いたことに、ランチョス法は固有値を求める手法ではなく、この3重対角化する手法のことらしい。勘違いしていた！
ほかに3重対角化の効果でてくるかな？
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ハウスホルダー法も、3重対角化の手法の１つらしい。こっちは固有値計算も込みのようだ。
そんなところか。
さて、3重対角化は可視化するとどういう世界なのか。
私は対称行列はすべて楕円に関係していると、以前このブログで結論した。
対称行列に相似変換を繰り返して3重対角化していくが、これはつまるところ楕円体の向きを、
X、Y、Z軸に合わせている動作に他ならない。
ただ対角行列であればピッタリX、Y、Z軸に楕円体の長辺、短辺が乗るのでわかりやすいが、
3重対角化ってどういうことだよ。
ピッタリではないが、もう少しでピッタリ状態ってことでいいかな？
・・・
考えるヒントとして、前のブログで、固有値方程式はラグランジュの未定乗数法に帰着する話が合ったが、その時の話で行列×ベクトルは楕円表面の法線ベクトルだった。
3重対角化では、どうなるか。
「固有値をまた考える～べき乗法の可視化～」から式を持ってこよう。
傾き = A * V
|∂f/∂x| |a, b, c| | vx|
|∂f/∂y| = |d, e, f| *| vy|
|∂f/∂z| |c, f, g| | vz|
ここでA行列のc成分が０ってことが3重対角化だ。
で、cが0ということはどういうこと？
vzがどんな値であろうと、楕円表面の法線ベクトルには関係ないよ、ということか。
そんな状態って・・・なに？
難しすぎる。また明日。
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