行列が対称行列の場合、固有値方程式はどうもラグランジュの未定乗数法になるようだ。
|a1, a2, a3| |x| |x|
|a2, a4, a5| |y| = λ|y|
|a3, a5, a6| |z| |z|
展開してみると
a1x + a2y + a3z = λx
a2x + a4y + a5z = λy
a3x + a5y + a6z = λz
ここから別途、ラグランジュの未定乗数法を考える。
極値を求めたい関数ｆが以下だとする。
f = a1/2*x^2 + a2xy + a3xz + a4/2*y^2 + a5yz + a6/2*z^2
そして拘束条件gが以下とする。(球の式だ)
g = 1/2*x^2 + 1/2*y^2 + 1/2*z^2 + C
ラグランジュ方程式を立ててみると、
∂f/∂x - λ∂g/∂x = a1x + a2y + a3z -λx = 0
∂f/∂y - λ∂g/∂y = a2x + a4y + a5z -λy = 0
∂f/∂z - λ∂g/∂z = a3x + a5y + a6z -λz = 0
ということで、固有値方程式と完全に一致した。
つまり対称行列の固有値方程式は、fの極値を拘束条件が球上で、求める問題ということだ。
じゃあfって何だ？
・・・
楕円体？
・・・
つまり対称行列の固有値方程式は、楕円体上のx,y,zを、球の拘束条件で極値を求めるということか。
・・・
つまり、楕円体に球をすっぽり入れて、しかし壁にぴったり当たるような内接球を1つ、
次にすっぽりでは無く一部入って一部出ているような、半内接、半外接球を1つ、
そして最後に、楕円体をすっぽり覆った外接球を1つ。
この3つの状態を固有値と呼んでいる？
なんとなく、この内接円、中間接円（っていうのか？）、外接円の半径が固有値になりそうだな。そして固有ベクトルは、楕円球と球の接する2点を結んだベクトルのことだろう。
・・・
それなりに説明できてしまった。
これを書き始めたときは、固有値とラグランジュ未定乗数の関係しか考えていなかったのに。
固有値って、以外と楽しいな。
[2回]
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