大雑把に考えたい。

[PR]

×

[PR]上記の広告は3ヶ月以上新規記事投稿のないブログに表示されています。新しい記事を書く事で広告が消えます。

サイト移動のお知らせ

以下サイトに移動しました。

https://tendrogram.blogspot.com/

[0回]

PR

「ラグランジュの未定乗数法」を大学で最初に習ったとき、正直全くわかりませんでした。しかし時は経ち、結局あれは何だったのかとビジュアル化して考えたところ、「なんだ、結局ただのベクトルの平行条件じゃん」と、名前がかっこいい割には実は単純なことしかしていないと気づきました。
昨今はYoutubeでビジュアルで解説しているものがあるので、そちらを見るとよいかもしれません。海外Youtube(英語)のほうが力が入っている気がします。
以下は私の備忘録として残します。

1.極値を出したい式のビジュアル化

そもそも、式をビジュアル化できていませんでした。そしてこれこそが盲点でした。
今回は例として、極値を出したい式は放物線、制約条件は半径1の円にします。

といっても、放物線「y=x^2」という形では使えません。無理やり形を変形する必要があります。放物線を変形した式「f = y - x^2」です。
そしてこの式のビジュアル化が盲点でした。これは3次元で考えないと成り立ちません。

ビジュアル化の具体的な方法は、f=0の場合にグラフを1つ描き、次はf=1の時のグラフを描き、ということを繰り返します。すると以下の図になります。地図の等高線と同じ見方です。fが標高に対応します。

2.制約条件のビジュアル化

では、制約条件の半径1の円「y^2 + x^2 = 1」をビジュアル化します。これは2次元です。
放物線と同じ3次元空間に置きたいので、3次元空間に浮いた円をイメージします。ただしf軸を上下に自由に動けるイメージです。
以下図のようになります。等高線的に書くと、結局円が1つです。

3.ラグランジュの未定乗数法が求めている極値

結局極値はどこを求めているかというと、これは「接する点」を求めています。つまり以下図の場所です。
矢印で指している部分が極値です。しかし「接する点」と呼んだ方が理解しやすいと思います。

4.接する点を求めるためのアイデアとは

これが一番重要です。接する点を求めるアイデアは、「極値を求める式の法線ベクトルと、制限式の法線ベクトルが平行になる」というものです。
実はベクトルの考えだったのです。ここに気づくと理解が深まります。

5.ラグランジュの未定乗数法の左側式と右側式の意味、そしてλとはなにか

これは右側も左側も結局、「法線ベクトルを出す式」です。偏微分は「法線ベクトルを出す式」だったという、今まで気づかなかった知見がここで得られました。
λは、法線ベクトルの倍率を合わせるための係数でした。
結局、「ベクトルの平行条件」を行っているのが「ラグランジュの未定乗数法」だとわかりました。

[0回]

物理のイメージ欲しい～ラグランジュ方程式の何がいいのさ？～

昔物理を習っていたが、当時ラグランジュ方程式やハミルトニアン方程式のありがたみがさっぱりわからなかった。

そして今でもわからない。
だって私は以下のような事を考えているからだ。

１．みんな「ラグランジュ方程式は全ての根源なんだ！」とか言うのだが、しかし私は、
「でもラグランジュ方程式って、必要なエネルギーの項はニュートン力学で計算してあげないと結局ダメだよね？　それって結局ニュートン力学じゃん！」とか思っている。

２．みんな「計算が楽になるんだ！」とかいうのだが、しかし私は、
「でもエネルギー項の計算ってめっちゃ大変じゃない？結局大変なところが移っただけだからトータルでみると別に楽になってないんじゃない？」とか思っている。

３．みんな「ラグランジュ方程式からニュートン力学でるんだぜ！」とか言うのだが、しかし私は、「は？ニュートン力学は既にあるじゃん。今あるものがラグランジュ方程式から出たから何なの？別に新しいこと何もないよね」とか思っている。

４．そして極めつけは、
「ラグランジュ方程式を使って何か役に立ったためしが・・・ないじゃん！」
これに尽きる。実例を出してくれよ実例を。そもそもそんな未知のエネルギー項なんてどうやって出すんだい！

だから、なぜ持てはやされているのかさっぱりわからない。
でもこの機に考えてみたい。もちろん大雑把だから数式とか考えない。
さてググろう。

・・・

ググった。
そして私は有難がられる理由をこう思った。

「量子力学の水素の方程式を解くためにはハミルトニアンの正準方程式が必要、
それを出すためにはラグランジュ方程式が必要
・・・だからラグランジュ方程式が重要なんだよ！！！」

という、後付けの理由ではないだろうか。

数学の道具というものは古くからたくさん開発されてきている。
その道具の中で、現代の量子力学に役に立つものはすべて、有難がられるのだ！

なんなら、ラグランジュ方程式は色々使えるから良いのでは全く無く、
ただ1点、ハミルトニアンの正準方程式の踏み台としてのみ価値があるのではないか？

と思うと納得できる。

・・・

別にこんな穿った見方をしたいわけではないが、実例がないと怪しいよね。
今思えば、物理の授業もそうだな。役に立つ実例を学べないのだ。
昨今の機械学習やデータ分析は直ちに役に立つ。しかし物理はそうではないのだ。
・・・と脱線した。

そうだな何か役に立ちそうな実例を考えればいいのかな。
地球温暖化で、熱の移動を解く、というのはどうだろう。

地球の熱エネルギーは、太陽の放射熱＋地熱＋大気や海の蓄熱か。無風で熱伝導だけで移動するとしてラグランジアンだとどういう式が建てられる？そもそも熱にも適用できるのかな？
・・・まあ私に組み立てる力はない。

とりあえずこれぐらいの役に立ち方があればね。

[0回]

データ分析で何か見たい~上場会社の分析~

最近pythonを勉強中。
そこで題材として上場会社のデータから何か見つけたい。

上場企業のデータから以下のように相関係数を出してみた。
どの値がどの値と線形関係にあるのかがわかる。
　・1なら線形関係(傾きプラス)、
　・-1なら線形関係(傾きマイナス)、
　・0ならその2つの値は関係ない。
Top5は赤枠で示した。

データの見方としては、例えばTop1の時価総額 vs 従業員数(連結)が1に近い。つまり
日本の上場企業の傾向として、時価総額が大きければ従業員数（連結）も線形で大きくなっているよ、ということがわかる。

ではそれぞれ以下で考察する。

〇Top1：(0.675676) 時価総額 vs 従業員数(連結)
　これはわかる気がする。会社規模が大きければ従業員も多いよね。
　ただ従業員（単独）よりも（連結）のほうが相関あるというのはなんだ？
　もしかして親会社は少数精鋭で、連結のほかの子会社で作業者の人手を賄っている？

〇Top2：(0.646553) 一株配当 vs EPS
　利益が出たらちゃんと配当として出していますよ！という相関。これもわかる。
　この相関が高いので、日本企業は儲けはちゃんと株主に還元していると言える。
　※EPSとは？　(Wikipediaより)
　1株当たりの企業の利益（当期純利益）はいくらかを表す指標で、
　当期純利益を発行済株式数で割って表されます。

〇Top3：(0.600903) EPS(１株純利益) vs BPS(１株純資産)
　これは、利益出ている会社は、純資産も多いんだよと言っているんだな。
　よく考えればこれは新しい発見だ。利益を出すには、資産をしっかり活かすことが
　重要って言っているのかも。
　※BPSとは？
　一株当たりの純資産。　

〇Top4：(0.580752) 一株配当 vs BPS
　これは上のTop2とTop3の関係があらためて出てきた感じ。
　特に問題はなさそう。

〇Top5：(0.532734) 平均年齢 vs 平均年収
　平均年齢が高ければ、平均年収も高くなるよ、と言っている。
　転職するなら、どういうところがいいかな。
　平均年齢低いが平均年収は高いところは、高給だが忙しい可能性あり。２０代ならありか？

　
以上が考察だが、グラフでも見てみたい。きっと違った考えが出てくるはず。

◎Top1：(0.675676) 時価総額 vs 従業員数(連結)

線形だと思ったがそこまできれいな直線にはのらない。右下は人が少ないのに時価総額が
大きいから市場の期待が大きい（伸びる）と思われている会社だろう。ちなみにこれはNTTドコモだ。ところで右上に1つだけある会社は日本一の会社トヨタだ。さすが。桁違いだ！

◎Top2：(0.646553) 一株配当 vs EPS

線形っぽい。右に行けば行くほど配当を頑張っている会社だ。一番右の会社はどこ？
東京エレクトロン(株)だ。頑張っている。では一番左上の儲けているのに配当少ない会社は？…という犯人捜しは辞めておこう。いや、ある意味今後配当を出す可能性が高いともいえる？。すると化ける可能性あり。
あと、利益出てないと配当もしないってことがよくわかる。あ、一番下に例外の会社あり。
食品系の会社だった。大丈夫なのか！？

◎Top3：(0.600903) EPS(１株純利益) vs BPS(１株純資産)

右上に１つだけ高い会社がある。エスケー化研だ。初めて聞いた。建築塗料の会社とのこと。なぜこんなに高いか他のデータ見てみた。どうやら、最低購買価格が５００万円からと非常に高額。中々買えず株価上がらないから１株当たりに換算すると大きくなるのでは？
逆に株式分割で1/2にしてほかの会社程度に落ち着いたとしたら、時価総額は2倍程度になるのでは？要注意。

◎Top4：(0.580752) 一株配当 vs BPS（1株純資産）

まぁこれはTop2とTop3の関係から、出てくるっていうやつだった。一番右が東京エレクトロンね。あまり純資産ないんだな。意外。それとも株価高くて目減りしているのか？

〇Top5：(0.532734) 平均年齢 vs 平均年収

みんな気になる年収はどうだ！？　一番高いのはキーエンスだろうなと思っていたら、
やっぱりキーエンスだった。そして平均年齢も低い。あの噂は本当だったのか・・・。

以上で企業のデータ分析を終える。
グラフにして平均から逸脱した企業を探し、考察してはじめて意味のあるデータが取れるって感じだな。グラフ化の重要性高し。

[0回]

固有値を考える～行列の3重対角化とはなんだ？～

　　　1次元のバネ連結モデルにバネの方程式を適用し、行列で描いたもの
| -k1, k1, 0, 0, 0| | dx1 | | f1 |
| k1, -(k2+k1), k2, 0, 0| | dx2 | | f2 |
| 0, k2, -(k3+k2), k3, 0| × | dx3 | = | f3 |
| 0, 0, k3, -(k4+k3), k4| | dx4 | | f4 |
| 0, 0, 0, k4, -k4| | dx5 | | f5 |

どうだろう、左側の行列は3重対角化そのまんまではないか！！！
ということで、「3重対角化にする」ということは、「1次元のばね連結モデルに置き換える」と言っていいのでは？

ということは、例え乱雑に繋がったバネモデルでも、固有値は1次元のバネ連結モデルに置き換えられる、と言えるだろう。

　　　こんな感じの並列部分があるバネモデルでも置き換えられる。

「3重対角化」は、複雑なモデルを非常に単純なモデルに置き換えるのが目的なんだな。
少しムズムズが収まった。

今日はここまでで限界だ。ここまで書き進めると別の興味が沸いてくる。
「3重対角化を進める過程と、バネが統合される過程の対応を見たい」
それはきっと私には厳しい。ここまでにする。

[0回]

観測者の有無が現象に影響を与える、はずがない。

量子力学では、観測が現象に影響を与えるという。

これはわりと当たり前のことだ。
なぜなら観測とは、何かを物質に衝突させて、その反射を取得することだからだ。

コウモリなら超音波だ。
人の目なら反射光を取得して、ものの位置を観測している。

では観測が現象に影響を与えるとはどういうことか。
それはただ単に、衝突させたら位置が動いてしまうぐらいものが小さいということだ。

コウモリの超音波は人の鼓膜では聞けないが、音の測定器では取れる。
測定器は薄いシートが超音波で震えるから音が取れるのだ。
つまり超音波で動くぐらい小さい（薄い）のだ。

光なら、まあほとんどのものは動かない。しかし電子レベルの小ささなら弾き飛ばされたりする。光電効果とかね。小さいからこその問題だ。

まるで目隠しでビリヤードの球を当てて、ほかの玉の位置を知る、そんな感じだ。
玉当たると、動いちゃうよね。

ただそれだけ。

それなのに・・・
世の説明では、観測「者」の有無が現象に影響を与えると答える人もいる。
これがわけがわからない。
観測行為はモノを衝突させるから説明付く。
でも人の存在は、何も現象に影響ないよね。

なんか哲学の観念論を言っているような気がする。
それはよそで言っててほしい。混乱する。

話は変わるが、Youtubeに2重スリットのアニメがあった
https://www.youtube.com/watch?v=vnJre6NzlOQ

4:25に、観測することで結果が変わる話が出てくる。
でもアニメのようにカメラで横から撮影したって、光子は映らないはず。
だって光がカメラのセンサーに当たっていないんだから。
つまりそれって観測できていないよ。

光子の軌道上にカメラを置く。これなら確実に観測できる。
そして見事に光子の状態を変えられる。実験は台無しだが。

[0回]

３重対角化を可視化できるか。

今日は行列の3重対角化について考えてみたい。

ここで書いている時点では何が生まれるかまだ分かっていないが、ブログに書こうと筆を進めると自然と何かできるから、それを期待して書いている。

さて、3重対角化とは何か。

固有値計算で出てくるぐらいしかしらない。なんで出てくるんだっけ。

・・・

「数値解析　森正武」をぱらっと見てみた。

どうも3重対角の行列から、バイセクション法を使って固有値が求まるようだ。

そして驚いたことに、ランチョス法は固有値を求める手法ではなく、この3重対角化する手法のことらしい。勘違いしていた！

ほかに3重対角化の効果でてくるかな？

・・・

ハウスホルダー法も、3重対角化の手法の１つらしい。こっちは固有値計算も込みのようだ。

そんなところか。

さて、3重対角化は可視化するとどういう世界なのか。

私は対称行列はすべて楕円に関係していると、以前このブログで結論した。

対称行列に相似変換を繰り返して3重対角化していくが、これはつまるところ楕円体の向きを、

X、Y、Z軸に合わせている動作に他ならない。

ただ対角行列であればピッタリX、Y、Z軸に楕円体の長辺、短辺が乗るのでわかりやすいが、
3重対角化ってどういうことだよ。
ピッタリではないが、もう少しでピッタリ状態ってことでいいかな？

・・・

考えるヒントとして、前のブログで、固有値方程式はラグランジュの未定乗数法に帰着する話が合ったが、その時の話で行列×ベクトルは楕円表面の法線ベクトルだった。

3重対角化では、どうなるか。
「固有値をまた考える～べき乗法の可視化～」から式を持ってこよう。

傾き = A * V

|∂f/∂x| |a, b, c| | vx|

|∂f/∂y| = |d, e, f| *| vy|

|∂f/∂z| |c, f, g| | vz|

ここでA行列のc成分が０ってことが3重対角化だ。
で、cが0ということはどういうこと？

vzがどんな値であろうと、楕円表面の法線ベクトルには関係ないよ、ということか。
そんな状態って・・・なに？

難しすぎる。また明日。

[0回]

確率も量子化してしまえばいいのに。

量子力学で考えると、壁にずっとぶつかり続ければいつか通り抜けることができるという。

少なくとも確率は０ではないと。

でもそんなことって本当に起きるのだろうか。

私は言いたい。

そんなレベルの非常に小さな確率は、事実上起きない。

どんなに時間が経とうとも。そこに無限があったとしても。
と、思っている。

そういう存在する／しないの限界の確率ってあるんじゃなかろうか。

そう、つまり確率も飛び飛びの値を持つ。

0の次は1e-100で、その間はないとか。この値は適当ですが。

・・・

よくよく考えれば、統計力学の考えは、非常に小さい確率の状態は事実上起きない、と言っているようにも取れる。このあたりから突き崩せないかな。

正直、量子力学のあのとんでもな話はマクロで語るものではない。
面白くはあるけど。

[0回]

死にゆくデータ

インターネットの成長とともに様々なデータが流通するようになった。

データは増加し続け、そして拡散され続ける。

しかしそんな中でも有用なデータは残り、不要なデータは忘れ去られていく。

それはまるでダーウィンの進化論のごとく。

データはまるで生物だ。

そう考えるとデータの死も考えてみたくなる。

いかに有用なデータであっても、あえて死をプログラムしておくのだ。

死を意識させて、初めてそのデータの重要性を意識させる。

そして次の新しいデータの糧とする。

死こそがデータに命を吹き込むのだ！

・・・

とかいう一般的な話だと面白くないな。
具体的に考えてみたい。

例えばニュートン力学がデータとしてあったとして、死がプログラムされているので100年後にそのデータは消える。
そうするとニュートン力学がネットから消える・・・それじゃだめか。

そうか、データが自然死する前に、有用であれば誰かが自分のHDにコピーするのだ・・・いや、それじゃいかんか。コピーしても死んでくれないと、データはひたすら生き残ってしまう。

では、これならどうだ。有用だからこそ誰かがそれを写経のごとく書き写す！
これなら意味は同じでもデータは異なるから問題なし。

まるで剣術の秘剣を弟子に伝えるかんじだ。
使い手は変わるが技は生きる。よいぞ。

よって、以下が死にゆくデータに必要な条件だ。
・データは何年後かに必ず自然死されるようプログラムされる。
・そのデータはコピーされてもやはり同じ時間に自然死する。
・データを残すには、写経のごとく書き写すのみ。

それにより生まれる効果は以下だ。
・死ぬことで、データに対して必要・不要を真剣に考える。
・不要なデータは自然になくなっていき、不要な時間やコストを使うこともなくなる。
・写経のごとく書き写す際に、再チェックや新たな解釈・知見を追加し続けられる。

人の社会に似ているな。

[0回]

1 + 2 + 3 + ・・・ ∞ = ー1／12　ってマジ？？？

ある本に書いてあったので、ありえないだろ！と思ってネットで調べてみた。

するとなんかそれらしくこれは正しいという説明があふれていた。

・・・一体何が起きているんだ？

みんなバカなのか？

マイナスになるはずがないんだ。
だって正の数だけを足しているんだから。

小数になるわけもないんだ。
整数を足し続けているんだから。

そしてこれはそもそも、数列で習ったあの式なんだ。
1 + 2 + 3 + ・・・ + n = n(n+1)／2
n=∞の時、∞(∞+1)／2だから答えは∞なんだ。

それをー1／12とか言っている。
そんなわけないでしょ？

考えすぎて、変な方向入って、大間違いしちゃって、でも大数学者のオイラーが作った式だからとみんな盲信して、しかも便利だから色々な式に応用しまくって、やっぱおかしいかなと思っても引っ込みがつかなくなって、仕方なく使っている可能性が高い。

きっと説明する先生も、この部分はあっさり飛ばすんじゃないかな。もしくは難しく説明して煙に巻くしかない。

現代であっても大嘘がまかり通るんだな。厳密で永遠に不変が売りの数学の世界であっても。

[0回]

2重スリットの実験のあら捜し

量子力学の、コペンハーゲン解釈が好きではない。

光子が測定されたかどうかで、振る舞いが変わるとか。
これはまだわかる気がする。

測定とは、人の脳に信号が行ったとき、とか。
これがまるでわからない。バカなんじゃないの？と思っちゃう。

この解釈が生まれた起源は、2重スリットの実験結果だったはず。
ではその実験のアラを探して、この解釈を消すことはできないか。

〇実験のアラ１：光子を1個だけ飛ばす。
光子を飛ばす機械側では1個という個数をカウント、つまり測定している。
この影響って無視していいの？

〇実験のアラ２：スリットの幅って？
実際の実験って、なんかすごく細い糸を穴の上に持ってきて2分割しているだけじゃ
なかったかな。だったらその糸に光子がぶつかった、という解釈にすると結論変わるとかない？
糸の振動で干渉稿とか。

〇実験のアラ３：そもそもスリットが1つでも縞はできる
「物理と特殊関数」の本でその辺の話があった。ベッセル関数っていうらしいね。
この関数は無視でいい？

私には無理だけど、この辺で消せたらいいなあ。

[0回]

過去へのタイムスリップは出来ない。それは熱力学第2法則による。

ふと思った。
過去へのタイムスリップが出来ない理由は何なのか。
結論として、私は熱力学第2法則の「エントロピー増大の法則」こそがその理由だと結論してみた。

「時間」の考えは突き詰めると何なのかといえば、それは「物理現象が発生して終わるまでの長さ」と言える。そもそも現在の原子時計だって、ある原子の振動の回数が何回に達したとき、1秒と定義しているのだ。「時間」とは物理現象と切っても切れない。

さてタイムスリップ、つまり「時間」が巻き戻るとはどういうことかと言えば、物理現象が逆に動くということだ。

例えば割れたガラスの断面が近づいてくっつき合う、温度の低い物体から温度の高い物体へ熱が移動する、空気中に散ったおならが、自然とまた自分のおしり付近に集まる。

こんな物理現象は起きるのか？
・・・起きないだろう。
ものすごくミクロに見れば局所的には起きる場合もあるが、しかしマクロに見ると事実上起きない。これこそ「エントロピー増大の法則」だ。

今テレビのCMで、未来の子供が母を訪ねる話があった。これを物理的に考える。
未来の子供の元となる、世界中に散らばった原子が自然と母親の付近の空間に集まり、そして見事にDNAの設計図通りに配置される。そして自然に呼吸を刻み、さらには脳のなかに記憶を持つような電子の流れが勝手に生まれるのだ。

これこそ物理現象が逆に動く、つまりタイムスリップだ。
・・・まったくありえない。

[0回]

Java Day 2015に参加

Java Day 2015に行ってみた。初参加だ。正直なところJavaは趣味で使う程度で、全く詳しくない。しかし何かのきっかけで広告をみて、そして申し込んだ。

参加して、私はJavaに好感を持った。

何が良かっただろうか、と考えたとき、Javaの後ろに顔の見える情熱を持つ人たちがいたことを知ったからだと思う。また有志によるコミュニティが存在し、そしてその人たちも情熱を持った人たちだった。おまけにコミュニティには簡単に参加できる。身近だ。結局は人の存在だな。それが良い。

Javaの周りの人たちに活力を感じた。
ということでJavaをもっと活用していこうと思う。

私自身は２年前から趣味で、JavaのSwingとjoglを用いた3Dグラフィックをちまちまと作っていたが、ここで方針を転換し、JavaのJavaFXで3Dグラフィクスを作ってみようと思う。このJavaFXは、今後のJavaで一押しのグラフィクス機能らしい。資料もネット上にあるのでとりあえず始めることはできそうだ。

JavaFXのよさは、UIと実装を分けられるところ。
とくにUIをコードで書かなくていいところは大変ありがたい。そのためのUI作成の便利ツール「JavaFX Scene Builder」はとても良い。

[0回]

レイノルズ数の代表長さについてまた考えた。

前回、「レイノルズ数の代表長さ、一体どこのことだかはっきりさせて欲しい。」でレイノルズ数の代表長さを考えた。そして私はとうとう自分の中で結論を得た。

結局、「代表長さはどこでもいい」のではないか。
以下2つが、その理由だ。

理由1
そもそも代表長さはその式からの導出が示すように、相似形状の倍率を表すためだけのもの。
つまりレイノルズ数は「相似」形状同士の「比較」の意味しかない。
※レイノルズ数の絶対値に意味はない。

理由2
代表長さは相似形状・相似空間同士の「倍率」を決めるためのもの。
比較する相似形状同士でどこを取るかを「合わせて」おきさえすれば、代表長さはどこを選んでも同じ倍率になる。

例：直方体A×B×Ｃの中心に置かれた円筒(直径Ｌ)モデルと、
　　その相似モデル(A',B',C',L')。
　　代表長さを直径Ｌとしても良いし、直方体の辺Ａとしても良い。
　　どちらを選んでも、相似モデル同士であれば「倍率」は結局どちらも同じ。
　　(倍率=L/L'=A/A'=B/B'=C/C')

そして上の結論から、下の内容が導かれる。

レイノルズ数の絶対値だけでは層流/乱流は判定できない。
あくまでも相似形状同士の比較でしかものが言えない。

間違った言い方例：
「モデルは何かわからないが、レイノルズ数が10000を越えている。つまり乱流となっている」
※この言い方では、モデルがわからないにもかかわらず、レイノルズ数の絶対値だけで判断している。実際は比較結果もないため何も言えないはず。当然ながら代表長さをどこにとったのかもわからない。代表長さは取り方によっては平気で数倍の違いが出てくるため、この言い方は信頼性が全くない。

正しい言い方例：
「この2つの相似形状・相似空間において、レイノルズ数はモデルＡの方がモデルＢより大きい。つまりモデルＡの方が乱流になりやすい」
※モデルを限定している。また乱流の判定は比較で話している。

ただし円筒や円管については、どの本も代表長さを直径とする慣習を守っている。つまり代表長さの場所が統一されているため比較ができる。モデルも明確で代表長さも統一されているため、絶対値で示している臨界レイノルズ数も信用できそうだ。ただしこの臨界レイノルズ数はあくまで円筒なら円筒だけ、円管なら円管だけに使用するべきだ。
※さらに言えば、外部流れの場合は流体空間も相似でなければいけない。

ひとまずこの考えを元に、他のこともこれから考えてみる。
特に気になるのは以下だ。
・層流と乱流について。
乱れているように見えているが層流の場合や、きれいに流れているように見えるが乱流と判定される場合はあるのだろうか。どのような閾値で判断するのか。また分けることにどのような意味があるのかを考えたい。

[7回]

固有値をまた考える～べき乗法の可視化～

固有値解法のべき乗法を図形で理解してみる。
早速だが、下図がべき乗法を可視化した図だ。前回の「固有値方程式をまた考える」から、対称行列の固有値方程式は結局楕円ということがわかった。ここではこの楕円とべき乗法がどのように関係するか、可視化してみた。

図1：べき乗法の反復1回目　V1 = A*V0

上図を説明する。べき乗法では、最初に適当なベクトルV0を用意してそれを行列Aに掛ける。そして次のベクトルV1(=A*V0)ができる。さて上図の一番大きなポイントは、V1が楕円の法線ベクトルとなっていることだ。※理由は後述する。

図2：べき乗法の反復2回目　V2= A*V1

図2では、このV1をまた行列Aに掛けて、V2を得る。このV2も楕円の法線ベクトルとなる。そしてさらにVを掛け続けたのが下図だ。

図3：べき乗法の反復を複数回実施

VをAに掛け続けると、やがてVは値が変化しなくなる。なぜ変化しなくなるのか。それは上図を見ればわかるとおり、楕円の短辺の上に来てしまうと法線ベクトルはそれ以上変化しなくなってしまうからだ。そしてこれこそが固有ベクトルだ。

どうだろう、絵にしてしまうとべき乗法はなんと単純なんだろう。

さて、ではなぜV*Aが楕円の法線ベクトルを求めることに対応しているのだろうか。私はこれを以下の2つから大雑把に考えてみた。

条件1.
前回の「固有値をまた考える」から、対称行列の固有値問題は以下の問題と等価である。
「楕円上の点を、拘束条件が円と接するとしてラグランジュの未定乗数法で解く問題」
つまりA*Vとは以下のように傾きの意味になる。
傾き =       A     * V
|∂f/∂x|    |a, b, c| | vx|
|∂f/∂y| = |d, e, f| *| vy|
|∂f/∂z|    |c, f, g|   | vz|

条件2.
全微分を考える。楕円の式がfとして、全微分のdfが0のとき、楕円が成立すると考える。
つまり以下の式。
df = dx(∂f/∂x) + dy(∂f/∂y) + dz(∂f/∂z) = 0
ここで、dfが0となるためには上式の2つのベクトル(dx, dy, dz)と(∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)の内積が0にならなければいけない。(dx,dy,dz)は楕円上を微小距離動く方向、つまり接線方向となる。この接線方向との内積が0ということは、(∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)は楕円の法線方向である。そしてこの法線方向は条件1で既に計算できる。そう、A*Vが(∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)、つまり法線ベクトルなのだ。

いかがだろうか。
「なんだ、べき乗法って単純だな」なんて感じられたのであれば、可視化は成功だ。

この可視化を使用すれば、重複した固有値がなぜべき乗法で解けないかも簡単に理解できる。

図4：楕円が円のときの反復

上図は重複固有値の楕円、つまり円だ。円であれば、V*Aが全く変化しないことはすぐにわかるだろう。つまり結果は収束しない･･･いや、寧ろどの向きでも既に収束しているというべきか。

さて、今日はこれくらいにしておこう。今後は以下の可視化を考えている。
・QR法
・ヤコビ法
・逆べき乗法
・ランチョス法
・二分法
・サブスペース法

あとは以下も興味深い
・非対称行列（楕円ではない？もしくは中心点がずれている？まだわからない）
・複素数の固有値

[3回]

固有値方程式をまた考える。

行列が対称行列の場合、固有値方程式はどうもラグランジュの未定乗数法になるようだ。

|a1, a2, a3| |x| |x|
|a2, a4, a5| |y| = λ|y|
|a3, a5, a6| |z| |z|

展開してみると

a1x + a2y + a3z = λx
a2x + a4y + a5z = λy
a3x + a5y + a6z = λz

ここから別途、ラグランジュの未定乗数法を考える。
極値を求めたい関数ｆが以下だとする。

f = a1/2*x^2 + a2xy + a3xz + a4/2*y^2 + a5yz + a6/2*z^2

そして拘束条件gが以下とする。(球の式だ)

g = 1/2*x^2 + 1/2*y^2 + 1/2*z^2 + C

ラグランジュ方程式を立ててみると、
∂f/∂x - λ∂g/∂x = a1x + a2y + a3z -λx = 0
∂f/∂y - λ∂g/∂y = a2x + a4y + a5z -λy = 0
∂f/∂z - λ∂g/∂z = a3x + a5y + a6z -λz = 0

ということで、固有値方程式と完全に一致した。

つまり対称行列の固有値方程式は、fの極値を拘束条件が球上で、求める問題ということだ。
じゃあfって何だ？

・・・

楕円体？

・・・

つまり対称行列の固有値方程式は、楕円体上のx,y,zを、球の拘束条件で極値を求めるということか。

・・・

つまり、楕円体に球をすっぽり入れて、しかし壁にぴったり当たるような内接球を1つ、
次にすっぽりでは無く一部入って一部出ているような、半内接、半外接球を1つ、
そして最後に、楕円体をすっぽり覆った外接球を1つ。

この3つの状態を固有値と呼んでいる？

なんとなく、この内接円、中間接円（っていうのか？）、外接円の半径が固有値になりそうだな。そして固有ベクトルは、楕円球と球の接する2点を結んだベクトルのことだろう。

・・・

それなりに説明できてしまった。
これを書き始めたときは、固有値とラグランジュ未定乗数の関係しか考えていなかったのに。
固有値って、以外と楽しいな。

[2回]

固有値方程式ってなんだよ。こんにゃろう。

固有値とはなんだろうか。

自分を測定した値は、また自分と同じ形になった。
同じ形だが、ちょっと大きくなってる、または小さくなっている。

そんなことあるのだろうか。
イメージしやすいとすれば、レンズや鏡だろう。

でも、測定した値というのとはちょっと違うか。

よし、こんなときはFFで考えよう。
以前の内容で、測定をライブラで例えたな。それで行ってみよう。

FF3の「まどうしハイン」は、バリアチェンジで弱点を変えた！
よし、ライブラだ！
（トゥルルルトゥルルル）
弱点：火炎

･･･さて、つまり固有値は火炎だな。
めでたしめでたし。

意味わからんな。
なにがいけなかったのだろうか。

まず、固有値方程式は普通、行列と変数配列で記述される。
Ax = λx
まどうしハインは何にあたる？変数配列のxだ。

よし、ここは無理やり･･･まどうしハインの細胞1つ1つを変数xと捕らえてみよう。
そうすると、xは細胞の位置ということか。

ではAはなんだ？
細胞と細胞の関係を表している？いや、測定といったな。測定方法を現している。
つまりxという細胞の集まりを、Aという方法で測定してみると、
あら不思議、またxの集まりになっちゃった。･･･意味わからん。

xの細胞同士が特殊な形で集まっていたのだろうか。
特殊な形を、ある対応する測定方法で見てみると、その真の意味がわかるというのか。

つまりあれだな。背水の陣で考えるわけだな。
敵の軍勢は残り数百。それに比べて私達は1万。一気に殲滅せん！、という状況にいるとする。

ある側近が言った。
「殿、あの方角にあるのは断崖の渓谷に大きな滝。まさに逃げ場はありません」

殿「ぬはは、今こそ積年の戦いに終止符を打ってくれるわ！」

そこで軍師が言った。
「否、これは好期にあらず。あれは背水の陣！孫子も言っておられる。殿、ここで攻めると大損害ですぞ」

･･･ということで、敵の軍勢xを、孫子の兵法Aで測定すると、敵の軍勢xはその数百体よりも数倍する力λをもつ、
いかがだろうか。
なんとなくわかった気がしないでもない。

んー待てよ、ちょっと考えの前後が違うか。

孫子の兵法によると、背水の陣Aの状態とは、敵兵xがいたとしても、数倍の力λを持つのだよ、という教えか。
条件がきわめて限定であるが故の結晶のような結果か。

固有値方程式とは、ある兵法の教えAがはまりにはまって実現する、最高潮の状態、って感じ？
ただ、その教えがはまる状態って、そんなにないよ、という感じか。

しかしこれではまだ応用できないな。本質ではないのかな。

[0回]

レイノルズ数の代表長さ、一体どこのことだかはっきりさせて欲しい。

流体力学で使用する基本式、ナビエ・ストークス式では、式を無次元化して記述し直す。

そのとき出てくる値がレイノルズ数Reだ。

Re = ρVL/μ

これで層流/乱流を決める。しかしその式中の代表長さLは、一体どこのことなんだろう。

・円管中の内部流れなら直径がL
・円管周りの外部流れも直径がL
・球なら直径がL

じゃあ何も物が無い空だったらなんだろう。
地上からの距離か、山の近くの流れなら山の直径か。

ならば山の近くは代表長さが2つあるようにも思える。

台風の代表長さは何になるのだろう。
これだけの特徴的な自然現象、そもそも層流/乱流で分けるものなのだろうか。

よくわからない。

そこで、レイノルズ数Reの成り立ちから逆算して、代表長さLがどこのことだかはっきりさせたい。考えが合っているかどうかはわからない。しかし次の考えの為のプロトタイプで良いのだ。

･･･Reの導出を見てみると、なんか代表長さLの抽出は無理やり感があるんだが、
そう感じるのは私だけ？。

これは結局、xを0～1のパラメータにしてしまって、距離はLxで表すようにしているのか？

と、いうことは、代表長さLの間は、ナビエ・ストークス式を満たす、と考えればよい？
もともとΔxが微小長さだが、代表長さLを導入することで、ΔxだけでなくLの範囲まで式は満たされる、といいたいのか。

ということは、寧ろミクロからマクロへの変換なのだろうか。
ということで、1つの考えを持ってみた。

「ナビエ・ストークス式を満たす範囲が代表長さL」

んー、当たり前のことを言っている気がするな。
具体的にはなんだろう。

円柱周りの外部流れなら、･･･たとえば淀み点から壁に沿って剥離点まではナビエ・ストークス式を満たすから･･･、いや、満たしそうにないな。

考えの方が発散するな。

思いついたが、ナビエ・ストークス式を満たす範囲といえば流体解析のメッシュサイズだ。
まさしく、セル内では式を満たすとの仮定で解いている。
荒いメッシュで計算し、どんどん細かくしていって、計算結果が変わらないあたりのメッシュサイズが代表長さLか。

･･･まぁとりあえず、これを考えの種としておこう。

[0回]